Unique Binary Search Trees 163
Question
Given n, how many structurally unique BSTs (binary search trees) that store values 1...n?
Example
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3
Solution
思路很简单,就是以某个点i作为根节点时,BST的数目为i左边所有点的BST的个数 * i右边所有点的BST的个数
定义Count[i]为i个数能产生的Unique Binary Tree的数目,
如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树,
Count[0] =1
如果数组仅有一个元素{1},只有一种BST,单个节点
Count[1] = 1
如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下两种可能
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根,左边0个数,右边1个数)
+ Count[1] * Count[0] (2为根,左边1个数,右边0个数)
再看一遍三个元素的数组,可以发现BST的取值方式如下:
Count[3] = Count[0]*Count[2] (1为根,左边0个数,右边2个数)
+ Count[1]*Count[1] (2为根,左边1个数,右边1个数)
+ Count[2]*Count[0] (3为根,左边2个数,右边0个数)
所以,由此观察,可以得出Count的递推公式为
Count[n+1] = ∑ Count[i] * [ n-i]
问题至此划归为一维动态规划。
代码如下:
public class Solution {
/**
* @paramn n: An integer
* @return: An integer
*/
public int numTrees(int n) {
// write your code here
if(n <= 1){
return 1;
}
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
for(int j = 0; j < i; j++){
//Count[n+1] = ∑ Count[i] * [ n-i]
dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
}
}
return dp[n];
}
}